Homogeneous coordinates와 Homography 개념

해당 내용을 복습하기 위해 간단히 정리하였습니다.

 

 

 

1. Homogeneous coordinate

• affine and perspective transformation이 하나의 matrix로 표현 가능
  • linear equation system이 된다.
• graphics or 3D vision 분야에서 많이 활용됨
• homogeneous coordinate 표현
  • 직선의 방정식 $ax+bx+c=0$ → $ax+bx+cw =0$ 로 표현 됨
  • $ax+bx+c = 0$ 상의 점으로 투영되는 점 $(x,y,w)$ 들은 $ax+by+cw =0$을 만족해야 함
  • $P(x,y)$의 좌표를 $P(wx, wy, w)$로 표현하는 방식 (단, $w\ne0$)
    • $w=0$ 이 되어버리면 무한대가 되어버림
  • 2D image에 한 점으로 투영되는 모든 점(같은 ray 상의 점)들을 표현 할 수 있다 → up to scale 이라 그럼
  • 원래 좌표를 구하고 싶을 땐 $w=1$로 만들면 된다. → $P(x,y,1)$

 

2. Points and Lines

• 직선 $l$과 $l^\prime$이 교차하는 점 x는 두 직선의 외적으로 구할 수 있다.
• $x = l * l^\prime$
• 점 $x$와 $x^\prime$을 이은 선 $l$은 두 점의 외적으로 구할 수 있음
• $l = x * x^\prime$
• 두 개의 ideal points를 연결한 직선 → ideal line
• 직선 $l$과 $l^\prime$이 평행할 때 두 직선의 외적은 0이다.
• $l * l^\prime = 0$
• Duality: $x = ll^\prime$ ↔ $l = xx^\prime$

 

3. Projective Transformation

 

• $x^\prime = Hx$
• Euclidean transformation (1 rotation, 2 translation)
• Similarity transformation(1 scale, 1 rotation, 2 translation)
• Affine transformation(2 scale, 2 rotation, 2 translation)
• Projective transformation(2 scale, 2 rotation, 2 translation, 2 line-at-infinity)

 

4. Homography란?

• Homography는 2차원 변환(transformation)의 가장 일반적인 형태로, 3차원 상의 평면 물체를 임의의 두 이미지에 투영하였을 때 이를 homography 관계로 모델링 할 수 있다.
• Homography는 homogeneous 좌표계에서 정의되며 일반식은 3x3 matrix로 표현된다.

• Homography는 위 식을 이용하여 점들의 대응쌍(corresponding points)로 구할 수 있다.
• Homography H는 3x3 matrix이므로 9개의 elements를 가지지만, homogeneous coordinates에서는 H의 scale을 결정할 수 없기 때문에 H는 8의 자유도(DOF, Degree of freedom)을 가진다.
• 한 쌍의 대응점은 x, y로 이루어져 있으므로 2의 자유도를 가진다. 따라서 4쌍의 대응점이 있으면 Homography를 결정할 수 있다.

 

 

자료를 정리하는데 참고한 영상 자료

• https://youtu.be/N6vP0T1Xabg
• https://youtu.be/tWHcHC2n0Mg

 

공부할 때 도움이 되었던 참고 자료

• Homography Estimation